Родился 13 декабря 1943 в Хабаровске в семье рабочего. В 1960 году окончил школу в п. Липовцы Приморского края, поступил во Владивостокское ремесленное училище плавсостава N 3 и по его окончании работал матросом в Дальневосточном пароходстве.

В 1962-1965 гг. был призван на действующую службу в ряды Советской Армии на Сахалин. После армии четыре года работал на судостроительных предприятиях Совгавани. В 1970 году вернулся на Сахалин в Аниву, где его трудовая биография началась в строительных организациях, в 1975 году Анатолий Михайлович назначен бригадиром бригады прибрежного рыболовства.

В 1990 г. им было создано собственное предприятие, которое он возглавлял до избрания в Сахалинскую областную Думу.

В 1996 году А. М. Кобелев награжден правительственной наградой - медалью "300 лет Российскому флоту", в 2004 г. - знаком "Почетный работник рыбного хозяйства России" за многолетний и добросовестный труд и заслуги в развитии рыбной отрасли.

В 2005 году стал депутатом Собрания Анивского городского округа, в котором был председателем на непостоянной основе.

В октябре 2008 года избран депутатом Сахалинской областной Думы пятого созыва.

Член Всероссийской политической партии "Единая Россия", фракции "Единая Россия" в Сахалинской областной Думе. 14 лет является Президентом общественной организации "Ассоциация рыбопромышленников Анивского залива".